tris

 

 

 

 

 

Il problema di febbraio 2015 ha come titolo “Tris triviale”.
Si tratta di una variante del gioco detto anche filetto. La particolarità consiste nel fatto che tutte le mosse di entrambi i giocatori avvengono in maniera casuale. In pratica è come se i giocatori nemmeno guardassero la scacchiera, persino quando la terza casella per fare il tris fosse libera e basterebbe occuparla con la propria pedina per vincere.

Nel tris normale si sa che il primo giocatore ha maggiori probabilità di vittoria, cioè si sa che con le sue mosse potrebbe imporre sempre il risultato di patta e potrebbe perdere solo dopo un grave errore.

Ma che succede nel tris casuale? Chi avrebbe maggiori probabilità di vincere? Questo è quanto chiede il problema del mese.


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Il problema di «Le Scienze» pubblicato nel numero di Gennaio 2015 (vedi pagina) chiede di risolvere un interessante problema: come tagliare una fetta di torta di area massima con la condizione che sia ottenuta con un taglio simmetrico e con tre punti appartenenti alla circonferenza (raggi r, r e l’arco AB interno indicato con “a“) .

Schematizzando il problema con un disegno, ecco come si presenta la torta:
il problema della fetta di tortaSi tratta di un classico problema di massimo che si affronta trovando la funzione area e poi studiando la sua derivata.

La soluzione che ho trovato e che è molto piaciuta ai redattori della rivista, è

α= 1,3065423741888062022287278 radianti

oppure, espressa in gradi,

α= 74 gradi 51 primi e 33,70966567616054 secondi d’arco.

Tutti i passaggi sono presenti nella soluzione completa esposta nel pdf si può trovare qui

Qui di seguito inserisco i link per scaricare i file di Geogebra (estensione .ggb) che sono utili per studiare il problema e cercare la soluzione:

I Rudi Matematici che hanno pubblicato la mia soluzione all’interno del blog che ogni mese dà le soluzioni pervenute, così commentano:

E l’abbiamo già detto, non riusciamo davvero a citare tutti i solutori (rischiamo perfino di confonderli… ad esempio, abbiamo più di un Lucio C. ….) ma non possiamo chiudere prima di salutare Giuseppe M., che ci scrive da un paese in Calabria che ha un nome delizioso e caratteristico, e che risolve virtualmente ogni nostro quesito. La soluzione di Giuseppe è molto bella, con grafici belli anche solo da guardare dal punto di vista estetico. L’abbiamo messa in un pdf, e potete trovarla qui.

A loro va il mio sentito ringraziamento per il commento e l’apprezzamento per la soluzione e anche perchè hanno sottolineato il dolce suono del nome della nostra amata Decollatura.


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Problema di Le Scienze Settembre 2013: «Sarah Connor?»

Il problema ha un’enunciazione semplicissima:

Dato un giardino a forma di triangolo rettangolo (cateti 300 e 400 metri), trovare la siepe più breve per separarlo in due parti di area uguale.

Il contesto non appare molto complicato. Il fatto che si tratti di un triangolo con i lati che formano una terna pitagorica semplifica i calcoli ma non sarebbe stato essenziale.

divisione in due di un triangolo

La siepe che divide in due parti uguali un giardino a forma di triangolo

 

Fissate i nomi dei vertici come in figura abbiamo che:

  1. La lunghezza minima della siepe che divide in due il giardino è di 196,494989 metri. Si tratta di un arco di circonferenza con centro nel vertice in cui si uniscono l’ipotenusa e il cateto di 400 m, quindi quello che è il vertice dell’angolo minore, e avente raggio di circa 305,352145 metri.
  2. Se per qualche motivo non si è disposti a fare una siepe curva, rimane l’alternativa della siepe rettilinea che unisce il punto E sull’ipotenusa con un punto D sul cateto maggiore entrambi distanti 316,227766 dal vertice dell’angolo minore che nel disegno allegato ho indicato con C. In questo caso la distanza è di 200 metri.

Dimostrazioni.

Punto A)

Costruiamo il settore circolare di centro C e angolo α dato da arcsen(3/5) circa uguale a 0,6435 radianti. Per avere un’area di 30000 metri quadrati (la metà dei 60000 metri quadrati dell’intero giardino) occorre un raggio r fornito dalla formula inversa dell’area del settore circolare. Da qui il valore proposto di 305,352145 metri.

Una volta noto il raggio, la lunghezza dell’arco si ottiene dalla definizione di misura in radianti di un angolo, per cui arco= raggio * angolo

quindi arco = 305,352145 * 0,6435 = 196,494989 metri

 

Punto B)

L’area di un triangolo si ottiene dalla nota formula trigonometrica secondo cui bisogna moltiplicare due lati qualsiasi per il seno dell’angolo tra essi compreso e dividere per due. Il seno dell’angolo è noto ed è 3/5 da cui, l’area è nota a priori ed è 30000 metri quadrati, da cui si deduce che i lati (uguali) sono lunghi 316,227766 m.

Trovati i due lati, ricaviamo il terzo (che è la lunghezza della siepe cercata) con la formula del coseno (o di Carnot) che ci dà appunto 200 metri esatti.

 OSSERVAZIONE

La scelta dell’altro angolo acuto, quello maggiore, come vertice del triangolo non sarebbe altrettanto valida poiché, essendo per angoli acuti il seno strettamente crescente e il coseno strettamente decrescente, la diminuzione del raggio necessario per avere una data area, sarebbe vanificata dalla piccolezza del contributo del coseno nella formula di Carnot nel non far aumentare il valore del lato opposto all’angolo scelto e che poi in definitiva è la lunghezza della siepe. Con l’altro angolo si otterrebbe una siepe curva di circa 236 metri.

Questa è la visualizzazione del problema con GeoGebra:

GeoGebra Foglio di lavoro dinamico

Questa è un’Applet Java creata con GeoGebra da www.geogebra.org – Java non risulta installato sul computer in uso – fare riferimento a www.java.com

In questa seconda rappresentazione con GeoGebra si può osservare il comportamento della siepe se si sceglie un punto sull’ipotenusa (come nel primo caso) e il secondo punto sul cateto minore. In questo caso si osserva come la lunghezza della siepe non scenda mai sotto i 245 metri (circa):

GeoGebra Foglio di lavoro dinamico

Questa è un’Applet Java creata con GeoGebra da www.geogebra.org – Java non risulta installato sul computer in uso – fare riferimento a www.java.com

 

Questo è il link alla pagina di Le Scienze con la soluzione al quesito.

Da qui e qui si possono prelevare i due file per GeoGebra per essere usati offline.


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