I problemi di Le Scienze


Forse conoscerete la rivista Le Scienze, la più prestigiosa rivista di divulgazione scientifica pubblicata in Italia, edizione italiana dell’americana Scientific American.
Da qualche anno ospita una rubrica, Rudi Matematici, che tratta di problemi matematici – in realtà anche di fisica, logica, probabilità, ecc. – a cui i lettori possono inviare la loro soluzione. Le soluzioni più originali e interessanti vengono pubblicate sul sito il mese successivo e da esse parte un blog in cui i solutori e gli altri lettori discutono sulla correttezza delle soluzioni proposte e sulle loro interpretazioni dei problemi.
Ho inviato anch’io diverse soluzioni perché i problemi sono stati sempre molto affascinanti e stimolanti.
[Quasi] sempre le mie soluzioni sono state molto apprezzate ed è per questo che aggiungo i link alle pagine del sito di Le Scienze che ancora le ospita.
Aggiungerò anche le soluzioni nella forma originale in cui le ho inviate perché chi è interessato le possa leggere più agevolmente. Anzi, riporterò innanzitutto il testo dei problemi in modo da non togliere a chi volesse cimentarsi nella loro soluzione il gusto di cercarne una e poi di leggere la mia soluzione sul blog di Rudi Matematici.

  1. Il Problema di Luglio 2008 (n. 479) – Dadi alla carbonara
    Rudy propone ad Alice tre possibili giochi diversi, tutti basati sul lancio di tre dadi a 20 facce. Nel
    primo gioco, Rudy lancia due dadi, Alice lancia il terzo, e vince solo se il valore del suo dado è strettamente compreso tra i valori dei due dadi di Rudy. Nel secondo gioco, Rudy lancia due dadi, Alice ne sceglie uno dei due come proprio, e poi Rudy lancia il terzo per completare il gioco: le regole di vittoria per Alice sono le medesime del primo gioco. Infine, nel terzo gioco, Alice ha ancora un’opzione in più: dopo che Rudy ha lanciato i suoi primi due dadi, oltre a poter scegliere uno dei due come suo, Alice può anche decidere di lasciarli entrambi all’avversario e prendersi il terzo, quello che deve ancora essere lanciato. Quello che bisogna capire è se almeno uno dei tre giochi è favorevole ad Alice oppure no.

    Qui potete trovare la mia soluzione
    che gli autori definiscono con queste parole «Una soluzione particolarmente bella ed estesa è arrivata da parte di Giuseppe Musolino: proprio per la sua estensione e per evitare di ridurla, cosa che sarebbe stata blasfema, la abbiamo riportata QUI. Secondo noi, si merita una lettura». Inutile aggiungere che la maggiore gratificazione viene da quei “blasfema” e “particolarmente bella“!

  2. Il problema di Settembre 2008 (n. 481) – Aspiranti Baristi Orbitali
    Immaginate che siano state concesse le licenze per quattro bar che dovranno essere aperti su una stazione toroidale, uno a un mese di distanza dall’altro. Considerate la stazione uniformemente popolata e soprattutto immaginate che il vostro locale sia il secondo a dover aprire. Conoscete la posizione del primo bar già aperto; sapete che altri due bar apriranno a breve; siete consci che ogni gestore, voi compresi, sceglie la propria posizione in modo da massimizzare il numero di clienti e sapete anche che questi, pigri, si limitano ad andare sempre al bar più vicino a casa. E naturalmente anche il terzo e il quarto gestore se la cavano bene quanto voi, in logica. Allora, dove aprite il vostro bar, rispetto al primo?

    Anche in questo caso il commento degli autori alla mia soluzione è molto piacevole: «Giuseppe Musolino che si esibisce in cinque splendide pagine di spiegazioni e calcoli di probabilità e percentuali»! Però non pubblicano la soluzione integrale (solo ilm disegno che utilizzano nella pagina è il mio) e perciò lo pubblico adesso a questo link.

  3. Il problema di Dicembre 2008 (n. 484) – Fenomenologia del gossip
    Immaginiamo di avere n persone, ciascuna delle quali conosce 1/n di un unico, succoso pettegolezzo. Come ottenere che tutti sappiano tutto nel più breve tempo possibile? Sono ammessi due tipi diversi di comunicazione:

    1. Comunicazione monodirezionale (tipo messaggio lasciato in segreteria, sms, mail)
    2. Comunicazione bidirezionale (tipo telefonata)

    Anche in questo caso la mia soluzione è stata pubblicata classificandola come «bella e interessante». Si può scaricare da qui.

  4. Il problema di Marzo 2009 (n. 487) – Traiettorie e trattorie.
    Si tratta di un quesito di cinematica ambientato in un immaginario bacino d’acqua per gare di canottaggio. In realtà il problema si articola in due parti:

    Il primo quesito:

    Rudy e Alice, con il loro “due senza” partono sul percorso da sud quando Piotr, con il suo “singolo“, lo ha già percorso tutto e si trova a nord. Una vogata dei due fa loro percorrere quasi esattamente 10 metri.
    Da quando partono Rudy e Alice, ci vogliono 72 vogate dei due per incrociare Piotr; poi, giunti all’estremo nord, virano e lo incontrano di nuovo dopo altre 40 vogate. Qaunto è lungo il percorso?

    Il secondo quesito:

    Il ristorante è ad un passo dal molo, sul lato sud del lago; quando Rudy e Alice stavano virando all’estremo nord del percorso, il cuoco è partito esattamente 300 metri ad ovest da loro. Doveva fare anche lui tutto il percorso da nord a sud, solo che rispetto a loro era lateralmente sfalsato di 300 metri. Per non disturbarli ha tenuto sempre la prua verso di loro, che procedevano alla tranquilla velocità di 6 km/h; lui invece andava a manetta, e il suo gommone riesce a fare i 10 km/h. Li ha superati ed è filato a preparare il pranzo. Dovreste essere in grado di capire quanto tempo ci ha messo a raggiungerli e anche a visualizzare la sua traiettoria verso la trattoria.

    Anche in questa occasione la mia soluzione e i relativi disegni sono stati utilizzati come soluzione di riferimento. Questo è il link per visualizzarla.

  5. Il problema di Dicembre 2009 (n. 496) – Condenda Carthago
    Ecco quanto riportano gli autori nel testo del problema:

    Ricordate la storia, sia quella minuscola della nostra rubrica, sia quella maiuscola che si studia a scuola? Ripassavamo la leggenda della fondazione di Cartagine, con Didone che doveva circondare con una pelle di bue il terreno destinato alla sua novella città. Noi, naturalmente, abbiamo cambiato un po’ le carte in tavola e il metodo di circoscrizione del terreno: ecco cosa abbiamo detto:
    Supponiamo di dover cintare un’area massima, e di farlo piantando dei pali: la terra racchiusa da questi pali sarà l’area che vogliamo massimizzare. Per piantare i pali si hanno esattamente 24 ore di tempo, e quindi si viaggia alla velocità massima, che si mantiene costante per tutto il viaggio. Ci si ferma solo per piantare i pali, e ogni palo sarà piantato in un minuto.
    Quanti pali occorrono per cintare l’area massima?”

    Si tratta di un bellissimo problema di massimo in cui la funzione da studiare deve essere prodotta dall’analisi geometrica e cinematica del problema.

    Ho postato la soluzione ma -eravamo a fine anno – gli autori non avevano molto tempo a disposizione per analizzare dettagliatamente le risposte ed ecco cosa mi ha risposto Piotr alla mia email con cui gli inviavo la risposta: «Caro Giuseppe, le cose vanno così di fretta, sotto le feste, che non so ancora se riusciremo a citare la tua soluzione nel post (che è in ritardo) di soluzione al quiz sul blog. Ma speriamo almeno di essere in tempo per ricambiarti gli auguri: Buon Anno, Giuseppe. E grazie. Piotr». Comunque hanno citato i nomi dei solutori ed io aggiungo qui quella che era la soluzione inviata.

  6. Il problema di Luglio 2010 (n. 503) – Forse un forziereQuesto il testo del problema:Un nostro cliente vuole recuperare un forziere metallico sommerso. Ha rivelatori monouso: sono strumenti che si lanciano in mare per intercettare masse di metallo, e prima di arenarsi per sempre sul fondo dicono via radio quanto dista la massa metallica. Ne ha già lanciati due: uno in un punto che non ha voluto rivelare, l’altro 300 metri a est e 400 a nord del primo punto. Il rivelatore numero uno ha segnalato il forziere a 450 metri di distanza, il secondo a 350. I rivelatori hanno un certo grado di imprecisione, pari al dieci per cento della misura che restituiscono.
    Oltre a quelle due misure già fatte, il nostro cliente ha altri due rivelatori, sempre con una precisione del dieci per cento, che per ragioni che non ha voluto spiegare devono necessariamente essere lanciati nello stesso momento, anche se naturalmente in punti diversi. Sono gli ultimi due che ha, e dalle loro misurazioni dovremmo essere in grado di restringere l’area da esplorare ad un massimo di 2000 o 3000 metri quadrati. Dove li lanciamo?
    La mia soluzione è stata pubblicata, ma da questo numero i cognomi dei solutori sono stati indicati solo con l’iniziale, ma è presente il link per la soluzione completa. In ogni caso io l’aggiungo qui.